Matemática discreta Ejemplos

$2$ , $6$ , $7$ , $8$ , $11$ , $11$ , $11$ , $12$ , $12$ , $13$ , $13$ , $14$

Paso 1

Obtén la media.

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Paso 1.1

La media de un conjunto de números es la suma dividida por la cantidad de términos.

$\overline{x} = \frac{2 + 6 + 7 + 8 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Paso 1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1

Suma $2$ y $6$ .

$\overline{x} = \frac{8 + 7 + 8 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Paso 1.2.2

Suma $8$ y $7$ .

$\overline{x} = \frac{15 + 8 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Paso 1.2.3

Suma $15$ y $8$ .

$\overline{x} = \frac{23 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Paso 1.2.4

Suma $23$ y $11$ .

$\overline{x} = \frac{34 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Paso 1.2.5

Suma $34$ y $11$ .

$\overline{x} = \frac{45 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Paso 1.2.6

Suma $45$ y $11$ .

$\overline{x} = \frac{56 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Paso 1.2.7

Suma $56$ y $12$ .

$\overline{x} = \frac{68 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Paso 1.2.8

Suma $68$ y $12$ .

$\overline{x} = \frac{80 + 13 + 13 + 14}{12}$

Paso 1.2.9

Suma $80$ y $13$ .

$\overline{x} = \frac{93 + 13 + 14}{12}$

Paso 1.2.10

Suma $93$ y $13$ .

$\overline{x} = \frac{106 + 14}{12}$

Paso 1.2.11

Suma $106$ y $14$ .

$\overline{x} = \frac{120}{12}$

Paso 1.3

Divide $120$ por $12$ .

$\overline{x} = 10$

Paso 2

Simplifica cada valor en la lista.

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Paso 2.1

Convierte $2$ en un valor decimal.

$2$

Paso 2.2

Convierte $6$ en un valor decimal.

$6$

Paso 2.3

Convierte $7$ en un valor decimal.

$7$

Paso 2.4

Convierte $8$ en un valor decimal.

$8$

Paso 2.5

Convierte $11$ en un valor decimal.

$11$

Paso 2.6

Convierte $12$ en un valor decimal.

$12$

Paso 2.7

Convierte $13$ en un valor decimal.

$13$

Paso 2.8

Convierte $14$ en un valor decimal.

$14$

Paso 2.9

Los valores simplificados son $2, 6, 7, 8, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14$ .

$2, 6, 7, 8, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14$

Paso 3

Establece la fórmula para la desviación estándar de la muestra. La desviación estándar de un conjunto de valores es una medida de la propagación de sus valores.

$s = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}}$

Paso 4

Establece la fórmula para la desviación estándar de este conjunto de números.

$s = \sqrt{\frac{{(2 - 10)}^{2} + {(6 - 10)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Paso 5

Simplifica el resultado.

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Paso 5.1

Resta $10$ de $2$ .

$s = \sqrt{\frac{{(- 8)}^{2} + {(6 - 10)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Paso 5.2

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + {(6 - 10)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Paso 5.3

Resta $10$ de $6$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + {(- 4)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Paso 5.4

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Paso 5.5

Resta $10$ de $7$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + {(- 3)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Paso 5.6

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Paso 5.7

Resta $10$ de $8$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + {(- 2)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Paso 5.8

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Paso 5.9

Resta $10$ de $11$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Paso 5.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Paso 5.11

Resta $10$ de $11$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Paso 5.12

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Paso 5.13

Resta $10$ de $11$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Paso 5.14

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Paso 5.15

Resta $10$ de $12$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 2^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Paso 5.16

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Paso 5.17

Resta $10$ de $12$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 2^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Paso 5.18

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Paso 5.19

Resta $10$ de $13$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 3^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Paso 5.20

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Paso 5.21

Resta $10$ de $13$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 3^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Paso 5.22

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Paso 5.23

Resta $10$ de $14$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 4^{2}}{12 - 1}}$

Paso 5.24

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Paso 5.25

Suma $64$ y $16$ .

$s = \sqrt{\frac{80 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Paso 5.26

Suma $80$ y $9$ .

$s = \sqrt{\frac{89 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Paso 5.27

Suma $89$ y $4$ .

$s = \sqrt{\frac{93 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Paso 5.28

Suma $93$ y $1$ .

$s = \sqrt{\frac{94 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Paso 5.29

Suma $94$ y $1$ .

$s = \sqrt{\frac{95 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Paso 5.30

Suma $95$ y $1$ .

$s = \sqrt{\frac{96 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Paso 5.31

Suma $96$ y $4$ .

$s = \sqrt{\frac{100 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Paso 5.32

Suma $100$ y $4$ .

$s = \sqrt{\frac{104 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Paso 5.33

Suma $104$ y $9$ .

$s = \sqrt{\frac{113 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Paso 5.34

Suma $113$ y $9$ .

$s = \sqrt{\frac{122 + 16}{12 - 1}}$

Paso 5.35

Suma $122$ y $16$ .

$s = \sqrt{\frac{138}{12 - 1}}$

Paso 5.36

Resta $1$ de $12$ .

$s = \sqrt{\frac{138}{11}}$

Paso 5.37

Reescribe $\sqrt{\frac{138}{11}}$ como $\frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$ .

$s = \frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$

Paso 5.38

Multiplica $\frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$ por $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$s = \frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

Paso 5.39

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.39.1

Multiplica $\frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$ por $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Paso 5.39.2

Eleva $\sqrt{11}$ a la potencia de $1$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Paso 5.39.3

Eleva $\sqrt{11}$ a la potencia de $1$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Paso 5.39.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Paso 5.39.5

Suma $1$ y $1$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

Paso 5.39.6

Reescribe ${\sqrt{11}}^{2}$ como $11$ .

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Paso 5.39.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{11}$ como $11^{\frac{1}{2}}$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.39.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.39.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.39.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.39.6.4.1

Cancela el factor común.

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.39.6.4.2

Reescribe la expresión.

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11}$

Paso 5.39.6.5

Evalúa el exponente.

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11}$

Paso 5.40

Simplifica el numerador.

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Paso 5.40.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$s = \frac{\sqrt{138 \cdot 11}}{11}$

Paso 5.40.2

Multiplica $138$ por $11$ .

$s = \frac{\sqrt{1518}}{11}$

Paso 6

La desviación estándar debería redondearse a una cifra decimal más que los datos originales. Si los datos originales fueran mixtos, redondea a una cifra decimal más que el dato menos preciso.

$3.5$